Binomialeksperiment og binomialformlen

Et stokastisk eksperiment med to udfald, succes/fejl, som gentages flere gange.

Eksperimenterne skal være uafhængige.

Basissandsynligheden p, er sandsynligheden for succes i et eksperiment.

Antallet af eksperimenter kaldes for n.

X er en stokastisk variabel der tæller antal succeser i de n eksperimenter.

Eksempel 1

En terning kastes 10 gange. Antallet af seksere tælles.

Dette er et binomialeksperiment med p=16 og n=10.

Eksempel 2

Fødevarekontrollen udtager 200 kyllinger som tjekkes for salmonella.

Dette er et binomialeksperiment med n=200 og p ikke umiddelbart kendt.

Når man arbejder med binomialfordelingen bruger man X som variablen ”antal succeser”.

Sætning 1 (Binomialformlen)

Sandsynligheden for at få netop r succeser i et binomialeksperiment er givet ved:

PX=r=Kn,r·pr·1-pn-r

hvor p er basissandsynligheden og n er antallet af eksperimenter.

Formlen er bevist sidst i denne note.

Eksempel 3

Fra eksempel 4 har vi et binomialeksperiment med p=16 og n=10

Vi kan så beregne sandsynligheden for at få netop to seksere i de 10 slag med terningen:

PX=2=K10,2·162·1-1610-2=0,29071005

Dvs. sandsynligheden for at slå netop 2 seksere i 10 slag er 0,29071005, dvs. ca. 29%

Ved hjælp af binomialformlen kan vi bestemme sandsynligheden for alle de mulige antal succeser:

r

P(X=r)

P(X?r)

0

0,1615

0,1615

1

0,3230

0,4845

2