Beregning af ændringen i Månens omløbstid ved anvendelse af differentialregning
I opgave 1d får vi at vide, at Månens afstand til Jorden stiger med 3,8 cm om året. Det betyder, at Månens omløbstid om Jorden stiger hvert år. Opgaven er at beregne, hvor meget omløbstiden vokser pr. år!
Da h = 3,8 cm er meget lidt i forhold til afstanden mellem Jorden og Månen (=m), er det nærliggende at forenkle problemet ved at bruge differentialregning:
Omløbstiden er i noten beregnet til
Formlen kan opfattes som en funktion T(r) af r, fordi omløbstiden kun afhænger af r. Ændringen af T ved en ændring af r skrives ?T. For gøre det mere gennemskueligt og genkendeligt, så lad os sætte
r = x
og T = f.
Så kan vi skrive
med .
Hvis= afstanden mellem Jorden og Månen lige nu, så er x =+ h afstanden til Månen om et år (h = 3,8cm). Sekanten gennem punkterne (, f()) og (x, f(x)) har
har hældningskoefficienten
Da h er meget lille i forhold til, har vi åbenbart
, dvs.
f’(x) udregnes som differenttialkvotienten af en potensfunktion:
Altså bliver tilvæksten i omløbstiden:
eller hvis vi konverterer tilbage til de oprindelige symboler for omløbstid og afstand:
Det er gratis at oprette en konto