En kugle med centrum i ????(????; ????; ????) og radius ???? har ligningen:
(???? ± ????)² + (???? ± ????)² + (???? ± ????)² = ????
eller
????² + ????² + ????² ± 2???????? ± 2???????? ± 2???????? + ????² + ????² + ????² ? ???? = 0
Bevis
Lad os starte med ligningen:
(???? ± ????)² + (???? ± ????)² + (???? ± ????)² = ????
???????? ???????????????????????????????? ???????????? ???????????????????????????????????????? ???????????????????????? ???????????? (???? ± ????)² ???????????? ????, ???? ???????? ????:
(???? ± ????)² = ????² ± 2???????? + ????²
(???? ± ????)² = ????² ± 2???????? + ????²
(???? ± ????)² = ????² ± 2???????? + ????²
Efter at have sat dem sammen, får vi:
????² ± 2???????? + ????² + ????² ± 2???????? + ????² + ????² ± 2???????? + ????² = ????
Nu kan vi samle vores tal sammen og flytte r til højre side:
????² + ????² + ????² ± 2???????? ± 2???????? ± 2???????? + ????² + ????² + ????² ? ???? = 0
Med opgaven
Lad os finde ligningen for en kugle med centrum i C(2; -3; -7) og radius 5.
(???? ? 2)² + (???? + 3)² + (???? + 7)² = 25
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