Bevis for andengradsligningen

Vi kan formulere sætningen vi vil bevise på følgende måde:

En 2. gradsligning er af formen ax2 + bx + c = 0, hvor vi antager a ? 0. Vi indfører betegnelsen diskriminanten (D), givet ved D = b2 – 4ac. Der er nu tre muligheder:

Hvis D<0: Ligningen har ingen løsning

Hvis D=0: Ligningen har én løsning, nemlig: x = - b2a

Hvis D>0: Ligningen har to løsninger x1 og x2, nemlig

x1 = -b- D2a og x2 = -b + D2a

Bevis:

Ideen i beviset er at omskrive ligningen ax2 + bx + c = 0 ved hjælp af kvadratet på en toleddet sum:

(e + f)2 = e2 + f2 + 2ef (Se formelsamlingen s.18. Her vist med e og f fordi vi allerede bruger a, b og c)

I ligningen ax2 + bx + c = 0 ganger vi med 4a på begge sider af lighedstegnet (vi husker at vi antog at a?0, så vi har lov at gange med 4a).

Da fås:

4a · ax2 + 4a · bx + 4a · c = 0

Vi lægger b2 – 4ac til på begge sider af lighedstegnet og får:

4a · ax2 + 4a · bx + 4a · c + b2 – 4ac = 0 + b2 – 4ac