Halveringskonstant: bevis og eksempel

Halveringskonstanten er en aftagende eksponentiel udvikling, der falder med en bestemt procent for hver enhed. Når vi går til højre hen ad x-aksen, falder funktionsværdierne til det halve, efter et bestemt antal enheder og dette antal enheder på x-aksen kaldes netop halveringskonstanten.

Hvis den eksponentielt aftagende udvikling har fremskrivningsfaktoren a(0 < a < 1), altså at a ligger mellem 0 og 1, er halveringskonstanten

T12= log12loga

Ud fra denne formel kan vi udlede hvor langt hen ad x-aksen vi skal, for at få en y-værdi der er halvt så stor.

Bevis

Vi regner på samme måde som i fordoblingskonstanten. x1 og x2 ligger på x-aksen og x1< x2 så funktionsværdien for x2 er halvt så stor som funktionsværdien for x1. Formlen lyder da:

fx2= 12fx1 ? fx1= 2?f(x2)

Denne ligning er den samme som ses under fordoblingskonstanten, dog er x1 og x2 byttet om. Derfor får vi:

x1-x2= log2loga ? x2-x1= -log2loga

Her efter benytter vi logaritmeregnereglerne (se bilag 1 for bevis for logaritmeregnereglerne)

log12=log1-log2= -log2

Hvilket giver os

x2-x1= log12loga

Og hermed har vi halveringskonstanten:

T12= log12loga

Eksempel

Hvis vi har en fremskrivningsfaktor på 2,75, kan vi udregne faldet pr. enhed i procenter:

2,75 ? 1 = 1,75 = 0.0175%.