Bevis for toppunktformlen for en parabel

Vi kan bevise toppunktsformlen ved at udnytte, at enhver parabel er symmetrisk omkring toppunktet, derfor vil midtpunktet/gennemsnittet mellem de to nulpunkter altså være x-koordinatet for toppunktet.

Toppunktekst x-koordinat

x1+x22=-b+D2a+-b-D2a2=(-b-b2a)2=(-2b2a)2=-b2a

Her har vi så vores 2 punker på x-aksen ”x1 og x2” som vi dividere med 2 der går vi så over og bruger løsningsligningen på en andengradsfunktion og dividere med 2 = så kan vi fjerne diskreminanten da de går ud med hindanden og lave fælles brøkstreg og derefter reducere til ”-2b” og dividere ”2” med tælleren og få -b/2a

Fx=ax2+bx+c

fxTop=a·-b2a2+b·-b2a+c

Ganger parenteser ud / væk (og det er (-b) * (-b) så det bliver (-)

=a·b24a2-b22a+c

Vi kan reducere (der er en faktor a i både tæller og nævner i den første så vi kan fjerne ^2 og a)

=-b24a-b22a+c

Når vi har sådan et udtryk her med en masse brøker der er lagt sammen, så kan vi gøre det at vi sætter dem alle sammen på samme brøkstreg hvis vi ellers sørger for at vi har samme nævner.

Vi finder altså en fælles nævner til alle brøker. Hvis vi forlænger den her brøk b22a med en faktor 2 i både tæller og nævner og vi forlænger ”c” med en faktor ”4a” i både tæller og nævner. Så kan vi få et udtryk der hedder