Rekursionsligninger: talfølger og økonomiske beregninger

Matematik aflevering (rekurssions):

Opgave 1:

En talfølge er givet ved

yn+1=2·yn-3

Startværdien y0=2.

Bestem de første fem værdier i talfølgen:

Vi kender startværdien, som udtrykkes for yn:

yn+1=2·y0-3

y1=2·y0-3=2·2-3=1

y2=2·y1-3=2·1-3=-1

y3=2·y2-3=2·-1-3=-5

y4=2·y3-3=2·-5-3=-13

y5=2·y4-3=2·-13-3=-29

Her har vi altså sat værdierne for y ind i ligningen for yn+1, og bestemt de fem første værdier i talfølgen.

Opgave 2:

En talfølge er givet ved:

yn+1=3·yn-1

Talfølgen indeholder værdierne y3=14, y4=41 og y5=122

Bestem startværdien y0.

Vi kan sætte yn+1 lig den forrige bestemte værdi, som i dette tilfælde ville være 14:

y3=14=3·y2-1

Her kan vi isolere y2, ved først at isolere 3·y2:

1+14=3·y2

Herefter kan vi isolere y2:

y2=1+143

y2=5

Dette kan vi fortsætte til y1:

y2=5=3·y1-1

Her kan vi isolere på samme måde som i den forrige:

1+5=3·y1

Herefter kan isolere som forrige:

y1=1+53

y1=2

Dette kan vi igen fortsætte til y0:

y1=2=3·y0-1

Som vi her kan isolere som forrige:

1+2=3·y0

Som kan isoleres som forrige igen:

y0=1+23

y0=1

Den bestemte værdi af y0=1

Opgave 3:

Se enten https://youtu.be/NinrTW1Bx2Y eller https://youtu.be/G8cD5NMOMcs, der begge beskrive en rekusiv metode til at vurdere en tredjedel af en given størrelse.

Argumentér for, at den beskrevne metode kan beskrives ved rekursionsligningen:

yn+1=L-yn2

Ifølge første video forklarer han at man kan definere at finde den tredje længde, som x=(1-x)2. Argumentet for at den kan beskrives som rekursionsligningen er, at for hver gang fejlen, som er L minus y_n opstår, vil den halveres - så man kommer 50% tættere på, for hver gang eller rettere sagt, man mindsker fejlen 50% hver gang. Helt samme metode forklares i begge videoer.