Bevis for toppunktsformlen

Et andengradspolynomium fx=ax2+bx+ hvor a,b,c?R og a?0 har toppunkt i punktet -b2a;-d4a.

Bevis:

Et andengradspolynomium er symmetrisk omkring toppunktet. Da det skærer y-aksen i y=c, må følgende ligning være opfyldt for x0?0, når b?0:

fx0=c? Vi sætter forskriften ind i stedet for f(x)

ax02+bx0+c=c? Vi trækker c fra på begge sider af lighedstegnet

ax02+bx0=0? Vi sætter x0 udenfor en parentes

x0·ax0+b=0? Nulreglen anvendes

x0=0 eller ax0+b=0? da vi har forudsat at x0?0 falder denne væk

ax0+b=0? b trækkes fra på begge sider af lighedstegnet

ax0=-b? der divideres med a på begge sider

x0=-ba? Toppunktet lå i 12x0 så dette regnes ud.

12x0=-b2a Vi har nu fundet x-koordinatet til toppunktet

Vi sætter nu x-værdien ind i funktionsforskriften og ser, om det giver den ønskede y-værdi.

f-b2a=a*-b2a2+b*-b2a+c Vi ganger potensen ud.

=a*b24a2+b*-b2a+c Vi ganger ind i parenteserne.

=ab24a2-b22a+c Den første brøk forkortes med a og vi sætter alle led på fællesnævneren 4a.

=b24a-2b24a+4ac4a Nu sætter vi det hele på en fælles brøkstreg.

=b2-2b2+4ac4a Vi forkorter og sætter et minus foran parentes i tælleren.

=-b2-4ac4a Vi erstatter parentesen med d, da denne svarer til diskriminanten.

=-d4a Hermed har vi fundet den ønskede y-værdi og x=-b2a må være den rette x-værdi til den kun én gang forekomne y-værdi.-