Bevis for arealformlen for en vilkårlig trekant

Sætning 2: Arealet af en trekant er ½h . g ( ½højde . grundlinie)

For at kunne bevise denne sætning er vi nødt til at bruge et lemma (en 'mini-sætning man laver for at kunne bevise en anden sætning).

Lemma : Sætning 2 gælder i retvinklet trekanter: T = ½ab

BEVIS:

Skitse:

Af den retvinklede trekant danner vi et rektangel med siderne ab. Vi ved fra aksiom 5 (1.Z's geometri-grundlag) at arealet af et rektangel er a . b. Altså Trektangel = ab

Dvs. Trekant = ½ab

BEVIS for sætning 2:

Vi vel bevise sætningen i en vilkårlig trekant. Der to tilfælde.

tilfælde:

Vi har nu dannet to retvinklet trekanter og kan bruge lemmaet til at bevise sætningen:

T = T1 + T2 = ½hg1 + ½hg2 = ½h(g1 + g2) = ½hg

tilfælde:

I dette tilfælde falder højden uden for trekanten, som vist på skitsen.

For at får arealet af ?ABC trækker vi arealet af ?CBD fra arealet ?ABD. ?ABD er en retvinklet trekant vi har dannet ved at trække højden fra B ned til grundlinien (en forlængelse af liniestykket AD). Da vi nu ved at den er retvinklet, kan vi bruge lemmaet til at beregne arealet.

T = TABD - TCBD = ½hg - ½h(g1 - g) = ½hg1 - ½hg + ½hg = ½ hg