Bevis for cosinus- og sinusrelationerne

De tre cosinusrelationer bevises på samme måde, så vi kan nøjes med at bevise en af dem, og vi vælger den, hvor vinkel A indgår:

a2=b2+c2?2bc?cos(A)

Del 1

Vi ser først på en vilkårlig trekant ?ABC, hvor vinkel A er spids (<90 grader), så højden fra B falder indenfor trekanten:

Vi nedfælder altså højden fra B og får derved opdelt trekanten i to retvinklede trekanter. Højden deler siden b i to stykker. I trekanten til venstre - den der indeholder vinkel A - kalder vi stykket x, og i den anden trekant - den der indeholder vinkel C - er stykket så b-x (se figuren).

Vi bruger nu Pythagoras's sætning på de to retvinklede trekanter og får udtrykkene:

c2=h2+x2oga2=h2+(b?x)2

Vi isolerer h2 i de to ligninger

h2=c2?x2ogh2=a2?(b?x)2

og da de to udtryk, som begge er lig med h2, selvfølgelig også er lig med hinanden, har vi ligningen

c2?x2=a2?(b?x)2

Vi omformer ligningen, så der står a2 på venstresiden (som der jo gør i den cosinusrelation, vi er i gang med at udlede)

a2=c2?x2+(b?x)2

og ganger parentesen ud (se kvadratsætningerne)

a2=c2?x2+b2+x2?2bx

?x2 og x2 går ud med hinanden, og vi får

a2=b2+c2?2bx

Af figuren ovenfor ses at x=c?cos(A), og når vi indsætter dette fås