Vektorproduktet: Geometrisk betydning og koordinatfremstilling

Der ønskes en omtale af vektorproduktet, dets geometriske betydning og koordinatfremstilling. Giv desuden et eksempel på anvendelse af vektorproduktet.

Plan

1. Definer krydsproduktet

2. Bevis at a*b er lig med arealet af det parallelogram, som de to vektorer udspænder.

3. Forklar hvad der sker hvis a ? b

4. Regneregler for krydsprodukter

5.Bevis sætningen vedr. Koordinaterne til krydsproduktet

6.Eksempel på anvendelse

1) a, b?0 og a ? b

a* b er den vektor, som opfylder følgende:

1. a* b? a og a* b? b

2. ( a, b, a* b) udgør et højre system

3. a* b= absin?(v)

a* b= b* a da absinv= basin?(v)

2)

T=12hg areal trekant

A=2*12hg areal parallellogram

A=hg

sinv=hb

bsinv=h A=bsinv*a

A=absinv

Dvs. A= a* b

3)

a ? b ?v=0° V v=180°

Dvs. sin0°=sin180°=0

a* b=ab*0=0

Dvs. a* b=0

4) regneregler

1. a* b=- b* a

2. ta*b=a*tb=t(a*b)

ta*b==ta*b*sinv=ta*b*sinva*(tb)=a*tb*sinv=a*tb*sinv=tab*sinvt(a*b)==t*a*b*sinv=tab*sinv

3. a*b+c=a*b+a*c

Regneregl 3 er anvendt

5)

a=a1a2a3 og b=b1b2b3

a= a1i+a2j+a3k og b= b1i+b2j+b3k

a*b=(a1i+a2j+a3k)*( b1i+b2j+b3k)

a*b=a1i*( b1i)+a1i*(b2j)+a1i*(b3k)+a2j*( b1i+a2j*(b2j)+a2j*(b3k)+a3k*( b1i)+a3k*(b2j)+a3k*(b3k)

a*b=a1b1* i*i+a1b2*i*j+a1b3*i*k+a2b1* j*i+a2b2*j*j+a2b3*j*k+a3b1* k*i+a3b2*(k*j)+a3b3*(k*k)

Regneregl 2 er anvendt

i*i=0 j*j=0 k*k=0

i*j=k j*i=- k k*i = j

i*k=-j j*k=i k*j=-i

Alle tre i,j og k er indbyrdes ortogonal

(i,j,k) udgør et højre system

i=j=k=1