Hvis f(x) og g(x) er to funktioner, som er differentiabel i et punkt x med differentialkvotienterne f'(x) og g'(x) så er sumfunktionen hx=fx±g(x) også differentiabel i x med differentialkvotienten h'x=f'x±g´x.
Hvis
Dette betyder at følgende sætninger må gælde eftersom at funktionerne er differentiable:
Det betyder så at vi kan bruge de 2 sætning fordi de er differentiabel
f´x=fx+?x-f(x)?x når lim?x?0
g´x=gx+?x-g(x)?x når lim?x?0
Sætningerne bevises nu ved hjælp af tretrinsreglen:
Bestemmelse af funktionstilvæksten for h:
?h=hx+?x-h(x)
funktionstilvæksten for h er ?h som er forskellen på x-aksen.
Fordi h er lig med summen af f og g kan udtrykket omskrives til:
H er lig med summen af f så det kan omskrives til.
?h=fx+?x+gx+?x-fx+gx
Som vi kan se indgår der en minus parentes som vi gerne vil have ophævet. Udtrykket bliver nu:
Som vi kan se er der et minus foran parentesen som vi ophæver ved at gange ind i paranteset.
?h=fx+?x+gx+?x-fx-gx
Vi kan herefter flytte lidt rundt på leddene uden at ændre på udtrykket hvilket gør det nemmere for os senere hen:
Herefter flytter vi rundt på leddene så vi har g og f på hver sin side
?h=fx+?x-fx+gx+?x-gx
Differenskvotienten
For at finde differenskvotienten skal vi dividere ?h med ?x:
Det er gratis at oprette en konto