Differentialregning: Regneregler og eksempler

Sumreglen og differensreglen fortæller os: ”Hvis der er 2 eller flere led, så kan disse differentieres hver for sig.”

Eksempel:

hx=x2+3xh'x=2x+3

Konstantreglen:

hx=k?fxh'x=k?f'(x)

Konstantreglen fortæller os: ”Hvis der er et tal k ganget på et led / udtryk, så kan vi ”sætte det udenfor” og gange det på efter vi har differentieret resten af udtrykket.”

Eksempel:

fx=10?x3f'x=10?3x2=30x2

Produktreglen:

hx=fx?gxh'x=f'x?gx+fx?g'(x)

Eksempel

hx=x3?lnxfx=x3gx=lnxf'x=3x2g'x=1xh'x=3x2?lnx+x3?1xh'x=3x2?lnx+x2h'x=x2(3lnx+1)

Andre regneregler for differentiation:

fx=kf'x=0

Hvis man differentierer en konstant funktion, så giver tangenthældningen altid 0.

fx=kxf'x=k

Hvis man differentierer et udtryk / funktion, som er et tal k gange x, så vil den differentierede bare være tallet k.

fx=ax+bf'x=a

Hvis man differentierer en lineær funktion, så giver tangenthældningen bare hældningskoefficienten a. Man kan bruge sumreglen, regel 2) og regel 1).

fx=xn

f'x=n?xn-1

Obs: Gælder kun hvis n?Z eller hvis n?Q. Altså hvis n er et heltal eller et rationelt tal (hvis det kan skrives som en brøk af to heltal).

Hvis man differentierer xn, så tager man eksponenten n ned foran og ganger på, og så trækker man én fra eksponenten.

fx=lnx

f'x=1x

Hvis man differentierer den naturlige logaritme til x, så giver det 1 over x.

fx=ex

f'x=ex

Hvis man differentierer Eulers tal opløftet i x, så giver det sig selv. Det er dét der gør Eulers tal e?2,71828 specielt.