Keglesnit og kvadratisk programmering

Keglesnit og kvadratisk programmering Sarah Ikast Kristoffersen 20. februar 2014

Emneopgave - Keglesnit og kvadratisk programmering

Teoretisk del

Keglesnit tilhører den analytiske geometri og kan fungere som en viderebygning på lineær programmering, hvor der i stedet for niveaulinjer anvendes niveaucirkler. De forskellige keglesnit fremkommer ved skæringen mellem en omdrejningskegle og en plan. Der findes overordnet fire typer keglesnit: cirklen, ellipsen, parablen og hyperblen, og den generelle ligning for keglesnit er givet ved: 2 2 ax C bx C cy C dy C e = 0, hvor a, b, c, d, e   Cirklen som keglesnit Den geometriske definition på en cirkel er: En cirkel de punkter, P, der ligger lige langt fra et centrum, hvor centrum: C = x0 , y0 . Derfor haves det, at cirklens radius er: r = |CP|. Radiussen kan ydermere bestemmes ved hjælp af cirkelligningen som: 2 2 2 r = x K x0 C y K y0 Denne sætning kan bevises ved hjælp af Pytagoras' læresætning: c = a C b . Her kan radius udregnes som hypotenusen i en retvinkel trekant, hvilket fremgår af nedenstående illustration: Af illustrationen fremgår det, at længden på radius |CP| kan betrages som hypotenusen i en retvinklet trekant. Herved kan 2 2 2 radius bestemmes som: r = a C b . Den vandrette katete, a, kan defineres som den nummeriske værdi x K x0 , og den lodrette katete, b, kan defineres som den nummeriske værdi y K y0 . Hvis disse værdier for kateterne indsættes i sætningen, fås: r = xK 0 C yK 0 x y