Vi skal designe et popcornbæger med et rumfang på 0,5 liter?500 cm3. Beholderen skal have kvadratisk bund. Der skal ikke være låg på beholderen. Hvilke mål skal beholderen have, for at materialeforbruget bliver mindst mulig.
Jeg starter med af finde overfladearealet O:
Grundfladearealet:Og=a·a
Side arealet:Os=a·b
O=a2+4ab
Formlen for arealet af en kasse:
Vk=g· h
Volumen=Grundfladearealet·Højden
V=a2·b
Da vi ved at volumen er 500·cm3 kan vi isolere h(b):
Isolering af b:
b=500·cm3a2
Vi kan nu opskrive overfladearealet som funktion af a:
Oa=a2·4·a·500·cm3a2=a2+2000a
Oa?a2+2000a
For at finde et punkt på grafen som kunne være minimum, udregner vi O´(a):
O´a?2 a-2000 a-2
Jeg beregner ligningen O´a=0 for at finde toppunktet da hældningen i toppunktet er 0:
0=2a-2000 a-2
?Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
a=10
Jeg beregner monotoniforholdene for at finde ud af om toppunktet er et minimum eller maksimum.
O´2=-496
O´20=35
Jeg kan nu bestemme monotoniforholdende
X for funktionen f er aftagende i intervallet -?,10
X for Funktionen er voksende i intervallet 10,?
Hvis grafen er aftagende op til x=10 og her efter voksende er x=10 et minimum.
Det mindste overfladeareal fås derfor ved at sige a?10·cm
Overfladearealet er derfor:
O10=102+200010=300·cm2
O=102+200010=300·cm2=300·cm2
Højden (b) er derfor:
b=500102=5
Det mindste overfladeareal opnås med en højde på 5·cm og en sidelængde på 10·cm
Det er gratis at oprette en konto