Matematik afleveringssæt: ligninger, funktioner og geometri

Afleveringssæt 5 - Svar

Uden hjælpemidler:

Opgave 1:

Omskriv x2+10x+25 til formen a+b2

Jeg bruger 1. kvadratsætning baglæns: a2+b2+2·a·b=a+b2

x2+10x+25=1x2+52+2·1x·5=x+52

Omskriv 2p-5(2p+5) ved hjælp af kvadratsætningerne.

Jeg bruger 3. kvadratsætning: a+b·a-b=a2-b2

2p-5·2p+5=2p2-52=4p2-25

Omskriv x2-y2 ved hjælp af kvadratsætningerne.

Jeg bruger 3. kvadratsætning baglæns: a2-b2=a+b·a-b

x2-y2=x+y·(x-y)

Reducer følgende: 3x-12-9x+1x-1.

3x-12-9x+1x-1=3x2+12-2·3x·1-9x2-12

=9x2+1-6x-9x2+9=-6x+10

Opgave 2:

Angiv antallet af løsninger for følgende ligning:

x2+4x+4=0

For at finde antallet af løsninger til andengradsligningen, så udregner vi diskriminanten d:

d=b2-4·a·cd=42-4·1·4d=16-16=0

Da diskriminanten er 0, er der kun en løsning til andengradsligningen.

Opgave 3:

Løs følgende ligning

2x2-8=0

Metode 1:

For at løse ligningen finder vi først diskriminanten:

a=2, b=0, c=-8

d=b2-4acd=02-4·2·-8d=64

Vi kan nu finde løsningerne:

x=-b±d2ax1=0+642·2=84=2x2=0-642·2=-84=-2

Løsningerne til ligningen er x = 2 eller x = -2.

Metode 2:

Vi løser bare ligningen:

2x2-8=02x2=8x2=82=4

Vi skal huske at der er to løsninger til x2=k, x=k og x=-kx=±4x=±2

Med hjælpemidler:

Opgave 4:

Funktionerne f og g er givet ved

fx= -x2+6x+1 og g(x)=x2-2x+7

Bestem toppunktet til grafen for f , og tegn denne graf.

Vi kan finde toppunktet ved følgende formel:

xT,yT=-b2a; -d4aa=-1, b=6, c=1

d=b2-4acd=62-4·-1·1d=36+4d=40

xT,yT=-62·-1; -404·-1xT,yT=-6-2;-40-4xT,yT=(3;10)

Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem grafen for f og grafen for g.

Vi kan finde x - værdierne for skæringspunkterne mellem graferne for de to funktioner, ved at sætte de to funktioner lig med hinanden og løse ligningen. Derefter kan vi finde y - værdierne ved at sætte x - værdierne ind i en af funktionerne.