Cosinusrelationen: bevis og anvendelse i trigonometri

Cosinusrelation er en formel, som ofte er et godt alternativ til sinusrelationen – dette skyldes, at når man anvender sinus- eller cosinusrelationen, så skal man have 3 oplysninger, men sinusrelationen er ubrugelig, hvis man eksempelvis kender 3 sider og ingen vinkler – dog er cosinusrelationen brugbar.

a2=b2+c2-2bc*cosA

b2=a2+c2-2ac*cosB

c2=a2+b2-2ab*cosC

I nedestående vil jeg udlede/bevise cosinusrelationen, som kan ses i ovenstående. Når vi beskæftiger os med vilkårlige trekanter, så kan vi ikke anvende samme formler som vi gør brug af for de retvinklede trekanter. Men vi kan gøre den vilkårlige trekant om til to retvinklede trekanter, ved at fælde en højde – dette illustreres:

I ovenstående er den vilkårlige trekant blevet til to retvinklede trekanter og dem har vi en række værktøjer vi kan bruge til at arbejde med. Vi bruger de to trekanter som kan ses i ovenstående figur:

Vi vil derfor tage udgangspunkt i følgende trekant, hvor højden, (h), deler siden b i to. Trekant kalder vi for henholdsvis x og b-x.

Vi har som sagt to retvinklede trekanter og tager man et ekstra godt kig på formlen for cosinusrelationen, så består den ene del af Pythagoras og den anden cosinus i den retvinklede trekant.

Pythagoras

a2+b2=c2

Cosinus i den retvinklede trekant