Cosinusrelationen og løsning af matematiske opgaver

Vi deler trekanten op i to trekanter så vi har to retvinklede trekanter. Vi starter med den venstre retvinklede trekant. Kalder den hosliggende(altså den hos vinkel A) for x. Vi ved i en retvinklet trekant at CosA=hosliggendekatetehypotenuse=xc ogdetbetyder at:x=c*Cos?(A)

Derefter bruger vi Pythagoras x2+h2=c2

I den højre retvinklede trekant er den ene katete b ? x (b er jo længden af hele siden AC ). Vi benytter Pythagoras' sætning i denne trekant og omskriver:

Men faktisk har vi en cosinus relation gemt i denne ligning, for på højre side kan vi erstatte x2+h2. h2 kan vi erstatte med c2 som vi fandt frem til i venstre trekant, og x med c*Cos(A).

Lad os så se hvordan ligningen ser ud nu:

Den hedder: a2 =b2+c2-2bc Cos(A)

Vi har hermed udledt en cosinusrelation.

Hvis man synes det ser uoverskueligt ud kan man vælge at isolerer Cos(A) sådan at resultatet ser således ud:CosA=(b2+c2-a2)2bc

Med udgangspunkt i trekantens to andre højder kunne vi have udledt tilsvarende cosinusrelationer, blot med ombyttede bogstaver.

Sammenfattende har vi:

Sætning: Cosinusrelationerne

I en vilkårlig trekant ABC gælder cosinusrelationerne:

Opgaverne 1 til og med 4 skal regnes uden brug af CAS - dvs. uden brug af lommeregner eller Maple.

Opgave 1