Differentialregning: Formler og opgaver

Differentialregning

f´(x) er den afledede funktion af f(x)

F(x)

F´(x)

k

0

x

1

x2

2x

xa

axa-1

x

12x

1x

-1x2

lnx

1x

ax

ax·lna

ex

ex

ekx

kekx

sinx

cosx

cosx

-sinx

h(x)

h´(x)

fx+g(x)

k·f´x+g´(x)

f(x)+g(x)

f´(x)+g´(x)

f(x)-g(x)

f´(x)-g´(x)

k·f(x)

k·f´(x)

Opgave 1

Hvad fortæller f´(x)?

f´(x0)er hældningstallet for tangenten til grafen for f(x) i punktet hvor x=x0 eller f´(x0) er væksthastigheden for f(x) i punktet hvor x=x0

Bestem f´(x)

fx=x3

f´x=3x3-1

f´x=3x2

fx=x5

f´x=5x5-1

f´x=5x4

fx=4x

f´x=4x·ln4

f(x)=e2x

f´x=2·e2x

fx=e-x

f´x=-1·e-1·x

f´x=-e-x

fx=4x3

f´x=4·3·x3-1

f`x=4·3x2

f´x=12x2

fx=7x4

f´x=7·4·x4-1

f´x=7·4x3

f´x=28x3

fx=8·x

f´x=8·12·x

f´x=82·x

f´x=4x

fx=5·1,3x

f´x=5·1,3x·ln1,3

fx=3ex

f´x=3·ex

fx=x2+x3

f´x=2·x+3·x3-1

f`x=2x+3x2

fx=e4x+e-4x

f´x=4·e4·x+-4·e-4·x

f´x=4e4x-4e-4x

fx=5x2+7x-5

5x2+7x-5

f`x=10x+7

fx=x4

f´x=4x4-1

4x3

fx=7x

f´x=7x·ln7

fx=8x5-7x4

f´x=8*5*x5-1-7*4*x4-1

f´x=40x4-28x3

fx=3x2x-5e-4x

f´x=3*2e2x-5*-4*e-4x

f´x=6e2x+20e-4x

Opgave 2

1)

a) Bestem f´(x)

fx=5+lnx

0+1x

b) Bestem f(2)

0+12

Opgave 3

Udviklingen i elevtallet på en skole kan beskrives:

fx=500*1,08x

Hvor x er antal år efter skolens start og f(x) er elevtallet

Bestem f´(7)

f´x=500*1,08x

f´7=500·1,087·ln1,08?65,94885

Forklar hvad dette tal betyder

65,95 fortæller at præcis efter 7 år efter skolens start, så vokser elevtallet med 65,95 elever om året

Bestem ligningen for tangenten til grafen for f(x) i punktet, hvor x=1

f´x=2*1+5=7

7 svarer til a, og det er hældningstallet