Matematiske opgaver: differentialregning, eksponentialfunktioner og integraler

Vi splitter stykket op i to brøker, da vi har en fælles nævner:

xyxy+x2xy

= 1+xxxy

=1+xy

Opgave 2

Bestem f ' (1) , og bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (1, f (1))

Vi starter med at differentiere ligningen: fx= x3+2x+8 ==> 3x2+2

Vi sætter 1 ind på x’s plads for at løse f’(1): f'1= 3*12+2= 5

For at finde tangenten finder vi f(1): f1=13+2*1+8=11

Vi kalder tangenten g(x). Vi kender hældningen (1,f(1)) og f’(1), derfor kan vi opstille:

g1=5+b=11

derfor:b=6

Tangentens ligning: gx= 5x+6

Opgave 3.

Bestem tallene a og b.

Forskriften lyder fx=b*ax, altså er det en eksponentialfunktion. Derfor gælder:

20=b*a2 og 80=b*a4

Nu dividerer vi dem med hinanden:

8020=ba4ba2 her går b ud med hinanden

4=a4a2=a2

a= 4=2

Vi indsætter a i en af ligningerne for at finde b:

20=b*22

b=204=5

Forskriften lyder:fx= 5*2x

Opgave 4

Beregn |BC| og |B’C’| .

Da trekanterne er retvinklede kan vi benytte os af pythagoras til at finde |BC|(her kalder vi den siden a) ved formlen: a2=c2-b2

a2=102- 62=100-36=64

a=64=8

Vi kan finde |B’C’|ved at udregne konstanten: ABAB' : k=1510=1,5

|B’C’| findes nu ved at gange konstanten med |BC|, da det er ensvinklede trekanter.

B'C'= 8*1,5=12