Logistisk vækst: analyse af bananfluebestand

Følgende differentialligning giver anledning til logistisk vækst:

(*)

Differentialligningen har den analytiske løsning:

(**)

I et biologisk forsøg talte man over en periode på 38 dage jævnligt antallet af individer i en bananfluebestand. Resultaterne fremgår af nedenstående tabel.

tid/dage (t)

6

9

12

15

18

21

24

27

30

34

38

Antal fluer (y)

6

10

22

51

70

102

166

225

265

282

320

(Kilde: A.J.Lotka: Elements of Matimatical Biologi)

Metode 1

Opgave 1.1

Vi vil afsætte målepunkterne i et koordinatsystem. Resultatet kunne tyde på en logistisk kurve – Dette vil vi forklare hvorfor.

Differentialligningen har den analytiske løsning:

Vi laver grafen på lommeregner, og den kommer til at se således ud:

Forklaring: Vi kan se på kurven, at det er en logistiskkurve, da den har form som et s.

Opgave 1.2

Vi anslå på grundlag af ovenstående populationsloftet.

Først vil vi lige have nogle konstanter på plads:

M = der hvor kurven flader ud

c = M

a = c

b =

Populationsloftet ligger i M, hvor den kan aflæses på y-aksen og er:

Opgave 1.3

Vi vil vise, ved at omskrive (**), at :

Opgave 1.4

Vi vil afsætte som funktion af i et semilogaritmisk koordinatsystem, og vi vil på grundlag heraf bestemme konstanterne og .