Pythtagoras

I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras’ sætning: Pythagoras’ sætning I en retvinklet trekant ABC, hvor den rette vinkel betegnes med C, gælder: a 2 + b2 = c 2

Bevis 1

Lad os tegne et stort kvadrat med sidelængden a + b . Fire kopier af trekanten omtalt i sætningen anbringes nu i hvert hjørne af kvadratet, som angivet på figuren. I midten bliver herved dannet en lille firkant, hvor alle siderne har længden c.

a

b

b a B

v

a

c

90

E

v

c

x v

b

90 v

C

b

A

a

D

1

For at vise, at den lille firkant er et kvadrat mangler vi at vise, at dens vinkler alle er rette. Sæt ?CBA = v . Da vinkelsummen i en trekant er 180° fås ?CAB = 90° ? v . Da ? ADE og ? ABC er kongruente, fås ?DAE = v og ?DEA = 90° ? v . Eftersom ?CAD = 180° fås x = 180° ? v ? (90° ? v) = 180° ? v ? 90° + v = 90° . Tilsvarende fås at alle de andre vinkler i firkanten er rette. Arealet af hver af de fire trekanter er 1 ? h ? G = 2