Polynomier og differentialregning

1. Angiv den generelle forskrift for et n’te grads polynomium

f(x) = anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0

2. Hvorledes afgøres et polynomiums grad?

Et polynomiums grad bliver afgjort ved den højeste potens n i funktionen.

Eksempel: f(x) = -0,03x3+3x2, i dette tilfælde derfor 3. grad polynomium

3. Gør rede for, hvorledes grafen for et n’te grads polynomium ser ud afhængig af om n er lige eller ulige

Nedenfor er sammensat nogle centrale kendetegn for polynomiernes grafiske forløb.

Førstegradspolynomier

Grafen: P1(x)=a*x+b, a?0

Kendetegn: Er en ret linje med hældning a og grafen for et førstegradspolynomim skærer x-aksen i netop et punkt.

Andengradspolynomier

Grafen: P2(x)=a*x2+b*x+c, a?0

Kendetegn: Er en parabel. Grafen har to grene, der peger samme vej og parablen er symmetrisk omkring den lodrette linje. Polynomiet har altså op til to nulpunkter, men behøver ikke have nogen.

Tredjegradspolynomier

Grafen: P3(x)=a*x3+b*x2+c*x+d, a?0

Kendetegn: Er en kubisk kurve med et vendepunkt. Grafen skifter fra at være ”sur” til at være ”glad” – eller måske omvendt. De yderste grene peget altid hver sin vej. Grafen er derudover også symmetrisk omkring vendepunktet. Den har mindst et nulpunkt, men kan have op til tre.

Fjerdegradspolynomier

Grafen: P4(x)=a*x4+b*x3+c*x2+d*x+e, a?0

Kendetegn: Har op til to vendepunkter, mindst et og op til tre og polynomiet har op til fire nulpunkter, men den behøver ikke at have nogen. De yderste grene peger altid samme vej. Grafen behøver ikke være symmetrisk omkring nogen linje.