Matematikopgaver: differentialregning og funktioner

Tegn tangenten til grafen for g i punktet P (1;1). Bilag 2 kan benyttes.

Bestem en ligning for tangenten til grafen for g i P.

Vi ved at tangens ligning lyder følgende:

y=f'x0·x-x0+fx0

Og dette er en lige linje, hvilket svarer til:

y=ax+b

Dvs. at hældning a svarer til f'x0 i tangentens ligning. Og dette vil vi gerne finde først:

Den givet funktion for grafen er:

gx=-x3+x+1

Vi differencer funktionen ved brug af følgende regneregler:

fx=a·xn?f'x=n·a·xn-1

fx=k?f'x=0

g'x=-3·x2+1

g'x0=g'1=-3·12+1=-2

Nu har vi hældning. Og nu skal vi finde fx0:

gx=-x3+x+1

Så sætter vi 1 på x’s plads:

gx0=g1=-13+1+1=1

Rørpunktet er (x0;g(x0))=(1;1)

y=f'x0·x-x0+fx0

y=-2·x-1+1

y=-2x+2+1

y=-2x+3

Vi kan nu konkludere at tangentens ligning er y=-2x+3 i punktet P (1;1).

Opgave 2 (aug 2023 uden CAS)

Bestem tangentens hældning i P.

Vi gør det samme som i den tidligere opgave, vi ved at tangens ligning lyder følgende:

y=f'x0·x-x0+fx0

Og dette er en lige linje, hvilket svarer til:

y=ax+b

Dvs. at hældning a svarer til f'x0 i tangentens ligning. Og dette vil vi gerne finde først:

Den givet funktion for grafen er:

gx=-x3+x+12

Vi differencer funktionen ved brug af følgende regneregler:

fx=a·xn?f'x=n·a·xn-1

fx=k?f'x=0

g'(x)=-3·x2+1

g'x0=g'0=-3·02+1=1

Nu har vi hældning.

Og nu skal vi finde fx0: