Ligninger for rette linjer og cirkler

Der ønskes en redegørelse for ligningen for den rette linje, parameterfremstillingen for den rette linje, ortogonale linjer og afstand fra punkt til linje. Desuden ønskes ligningen for en cirkel udledt.

Uofficielt: opskriv og bevis følgende sætninger: sætning 2.14 (side 65), sætning 2.17 (side 68), sætning 2.15 (side 66), sætning 2.26 (side 67) og sætning 2.18 (side 69). forklar gerne (hvis tiden tillader) hvordan en tangent til en cirkel bestemmes.

Plan

1. ligningen for den rette linje.

2. ortogonale linjer.

3. parameterfremstillingen for en ret linje.

4. afstand fra punkt til linje

5. cirklens ligning

1. sætning

Linjen gennem punktet P0(x0 , y0) med normalvektor n =ab har en ligning på formen:

ax-x0+by-y0=0

ax+by+c=0 hvor c=-ax0-by0

Bevis

P0P ?n P0P =x-x0y-y0

n*P0P =0

ab*x-x0y-y0=0

ax-x0+by-y0=0

ax-ax0+by-by0=0

ax+by-ax0-by0=0 et tal da er hente n =ab og P0(x0 , y0)

ax+by+c=0

2. sætning

L:y=ax+b og M:y=cx+d

L?M a*c=-1

Bevis

rl=1a og rm=1c

L?M

rl ? rm

rl* rm=0

1a*1c =0

1*1+a*c=0 ? a*c=-1

3. sætning

Linjen gennem punktet P0(x0 , y0) med retningsvektor: r =r1r2 har en parameterfremstilling på formen:

xy=x0y0+t*r1r2 t?R

Bevis

OP= OP0+P0P

P0P ? r da r ? l og P0P ? l

P0P=t* r

Dvs. OP= OP0+t*r

xy=x0y0+t*r1r2 t?R