Økonomisk analyse: monopol, Lagrange, integraler og matricer

Opgave 1 – find produceret mængde, maksimer profit, MR, MC

For et produkt udbudt under monopol er efterspørgslen givet ved:

P=80-2Q

Hvor Q betegner den producerede mængde, mens P betegner prisen.

Ved produktion af produktet er de totale omkostninger TC givet ved:

TC=3Q2+10Q+20

Find den producerede mængde der maksimerer den totale omsætning TR-TQ

TR=P*Q

TR=80-2Q*Q

TR=80Q-2Q2

Differentier og sæt lig nul

TR'=80-4Q

80-4Q=0

80=4QQ=20

I optimum gælder det at Q=20

Bekræft:

d2TRdQ2=80-4Q=-4

Da -4<0 er det maks

Find den producerede mængde, hvor virksomheden maksimerer profitten. Hvad er profittens størrelse?

Pi=TR-TCPi=80Q-2Q2-3Q2+10Q+20Ophæv parenteser

80Q-2Q2-3Q2-10Q-20

70Q-5Q2-20

Differentier og sæt lig 0

70-10Q=070=10QQ=7

Bekræft

d2pidQ2=-10<0

Maks da -10 < 0

Find profitten:

707-572-20=225

Beregn henholdsvis den marginale indtjening MR, og de marginale omkostninger MC, ved denne produktion. Hvad observeres?

MR=dTRDQ

MC=dTCdQ

MR=80Q-2Q2=80-4Q

Indsæt Q

80-4*7=52

MC=3Q2+10Q+20=6Q+10Indsæt Q67+10=52

Bevis:

Bevis)

dprofitdQ=dTRdQ-dTCdQ=MR-MC=0=MR=MC

Opgave 2 – Lagrange, løs lagrange, Q i optimum, antag K øges

Til produktionen af Q vare anvendes Kapital K og arbejdskraft L. Produktionen er givet ved sammenhængen:

Q=QK,L=6K+4KL

Produktionen er underlagt en kapacitetsbegrænsning M, der er lig 105. Yderligere oplyses det, at prisen per enhed kapital og arbejdskraft er givet som renten PK=2 og lønraten PL=6

Opstil ved hjælp af lagrange metode et system til at maksimere produktionen