En lille note om sammenhængen mellem grænseværdi, kontinuitet og differentiabilitet.
Grænseværdi og kontinuitet
En grænseværdi handler om, hvad der sker med funktionsværdien f(x), når vi lader x komme tættere på et tal uden at blive lig med tallet. I de fleste tilfælde vil funktionsværdien være grænseværdien.
Lad os se nærmere på følgende figur med to grafer.
I begge tilfælde vil funktionsværdien nærme sig a, jo tættere x kommer på x0.
Værdien a kalder vi for grænseværdien for f(x), når x nærmer sig x0, hvilket skrives således
fx?a for x?x0
eller med matematisk standardnotation
limx?x0fx=a
Hvis de har samme grænseværdi, hvad er så forskellen på figurerne ovenfor?
For grafen til venstre gælder der, at grænseværdien er a og fx0=a.
Grænseværdi og funktionsværdi er identiske, hvilket gælder for alle punkter på grafen.
Når grænseværdi og funktionsværdi er identiske for alle punkter på grafen, kaldes funktionen kontinuert.
Den matematisk definition af kontinuert er funktioner, der opfylder
limx?x0fx=fx0
for alle x0?Dm(f).
Den anden graf er ikke kontinuert, da fx0=b, hvilket ikke er det samme som grænseværdien a.
Grafen siges at være diskontinuert i x0.
Kontinuitet og differentiabel
Differentiabilitet handler om bestemmelse af differentialkvotienten.
En funktion er differentiabel i x, hvis differenskvotienten
fx+?x-f(x)?x
har en grænseværdi for ?x?0.
Det er gratis at oprette en konto