Forklar med dine egne ord, hvad der forstås ved, at en funktion er differentiabel i x, og forklar hvad der forstås ved differentialkvotienten af f i x, f ´(x). Du skal ledsage dine forklaringer med en passende illustration, og du skal komme ind på sammenhængen mellem sekant- og tangenthældning.
En funktion er differentiable, hvis der findes en tangent i alle punkter for funktionen. En tangent er en ret linje der bedst flugter grafen i et vilkårligt punkt x0:y0. En tangent har pr. definition kun et skæringspunkt. Indsætter man et hjælpepunkt for denne tangent skaber man en sekant. Dette er en ret linje der går gennem to vilkårlige punkter på grafen.
fx=x2 er et eksempel på en differentiable funktion
fx=1 er ikke en differentiable funktion
Det nederste eksempel er en lovlig funktion, men her kan der ikke laves en tangent, da funktionen er en ret linje, og tangenten må netop kun skære funktionen 1 gange. Altså skal differenskvotienten have en grænseværdi for x gående mod x0, skrives matematisk som x?x0 og betyder at funktionens graf har en tangent i punktet (x0,f (x0).
Differentialkvotienten er tangenthældningen. Differentialkvotienten er den funktionsforskrift, der fremkommer ved at differentiere en funktion (’’f-mærke”). Denne nye funktion, også kaldet den afledte funktion, fortæller hvor stejlt værdien vokser eller aftager ved en vilkårlig værdi indenfor definitionsmængden.
Det er gratis at oprette en konto