En differentialkvotient er den funktionsforskrift, der fremkommer ved at differentiere en funktion. Hvis den oprindelige funktion hedder f(x), benævnes dens differentialkvotient normalt f’(x) (udtales "f mærke"): Denne nye funktion, også kaldet den afledte funktion, fortæller hvor stejlt værdien af f(x) vokser eller aftager ved en vilkårlig værdi af indenfor definitionsmængden for f’(x).
Vi kan tale om differentialkvotienter (tangentens hældning), ved funktioner der er kontinuerte.
- altså når der ikke er nogle ”Spring” i grafen.
En funktion er kontinuert når det gælder at:
for
Dette gælder fx: polynomier, eksponentielle udviklinger, logaritmefunktioner og potensfunktioner.
Definition og beregning
For at kunne finde differentialkvotienten ser vi på punktet på grafen, og på punktet
Linjen gennem disse to kaldes en sekant.
For at finde en eventuel tangent, lader vi punktet flytte sig, idet vi lader . Når x nærmer sig , så vil sekanthældningen nærme sig tangentens hældning, i punktet .
Sekantens stigningstal er:
, dette er differenskvotienten i .
En funktion f er differentiabel i , netop når:
Definitionsmængden for f indeholder et åbent interval, hvori ligger.
Hvis differenskvotienten har en grænseværdi for, så er funktionen f differentiable i med differentialkvotienten
for
Grænseværdi
Man siger at f(x) har en grænseværdi for x gående mod 0, eller i nogle tilfælde for h gående mod 0. Det betyder egentlig at f(x) går mod en bestemt grænseværdi når afstanden fra x til x0 bliver mindre og mindre, altså når den går mod 0.
Det er gratis at oprette en konto