Differentialregning og optimeringsopgaver

Bestem afledte funktioner til følgende funktioner – uden hjælpemidler:

fx=3x+5e2x

f'x=(3x)'+5·(e2x)'

f'x=3x·ln3+5·2e2x

f'x=3x·ln3+10e2x

Ergo: den afledte funktion er f'x=3x·ln3+10e2x

gx=x12+4?ln?(x)

g'x=x12'+4·lnx'

g'x=x-12+4x

Ergo: den afledte funktion er g'x=x-12+4x

hx=3x5

h'x=3x5'

h'x=x53'

h'x=x23

Ergo: den afledte funktion er h'x=x23

Opgave 2

Vi betragter funktionen x > 0

Bestem monotoniforhold for f(x) – uden brug af CAS værktøj og uden grafisk støtte fra LR.

(Bemærk at der står x>0)

For at bestemme monotiniforhold for funktionen, skal finde ekstremaerne, ved at sætte f’(x)=0

f'x=0

f'x=-1x2+1

-1x2+1=0

1x2=1

1=x2

x2=±1

x=-1 V x=1

Da x > 0, har vi kun et ekstreme: x=1

Nu laver vi et fortegnsvariableskema, for at se hvor funktionen er voksende og aftagende

x

1/2

1

2

f’(x)

-

0

+

f(x)

-

Jeg udregner f’(x) for de forskellige tal

f'12=-1x2+1=-1122+1=-4+1=-3

f'2=-1x2+1=-122+1=-0.25+1=0.75

Ergo: MF for f(x) er:

f er aftagende for x? ]0;1]

f er voksende for x?[1;?[

Bestem ligninger for de tangenter til grafen for f(x), der er parallelle med linjen g(x)=-2x+2.

(Løs ligninger algebraisk – hvis du magter)

For at bestemme ligninger for de tangenter til grafen der er parallelle bruger vi formlen

y'=f'(x)

-2=-1x2+1

-3=-1x2

3·x2=1

x2=±13

x=0.58 V x=-0.58

Da x > 0, kan -0.58 ikke være en mulig løsning