Eksponentielle funktioner, vækstrate og logaritmer

Fordoblingskonstanten:T2=log2loga eller ln2lna eller ln2k

Halveringskonstanten: T1/2=log0,5loga eller ln0,5lna eller ln0,5k

a>1 er en voksende funktion

0<a<1 er en aftagende funktion

Opgave 1

fx=2·1,17x

Tegn grafen i wordmat

Angiv definitions- og værdimængden

dm(f) = R

vm(f) = ]0; [

Angiv monotoniintervallerne

f er voksende (i R)

Opgave 2

Funktionen fx=ex kaldes den naturlige eksponentialfunktion. Tallet e er et fast tal som har værdien e = 2,71828

Funktionen fx=lnx kaldes den naturlige logaritmefunktion. Det gælder at lne=1

a)

Bestem f(3)

f(x)=7e0,2x

f3=7e0,2·3?12,75483

Bestem fordoblingskonstanten

Jeg bruger formlen ln2k, da vi kender k´s værdig, som er 0,2

ln20,2?3,465736

Hvor mange procent vokser f(x) når x forøges med 1?

Vi skal finde a´s værdi

0,2=lna

?Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

a=1,221403

Herefter kan vi bruge formlen a=1+r

1,22=1+r

?Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

r=0,22

Den vokser 22%

b)

Omskriv f(x) til formen fx=b·ekx

fx=4·0,85x

Vi skal finde en k-værdi

k=lna

k=ln0,85?-0,1625189

Dvs. f(x) kan skrives fx=4·e-0,16x

Opgave 3

Vi løser ligninger vha. ln og lnar=r·lna

a)

Løs ligningen

1,3x=45

ln1,3x=45

x·ln1,3=ln45

x=ln45ln1,3

?Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

x=14,50907

x = 14,50

b)

Løs ligningen

ex=67

lnex=ln67

x·lne=ln67

x·1=ln67

x=ln67?4,204693

x = 4,20

c)

Løs ligningen

e3x=89

lne3x=ln89