Matematiske emner: Andengradspolynomier, eksponentialfunktioner og differentialregning

• Gør kort rede for hvilken betydning koefficienterne a, b og c samt diskriminanten d har for grafen for andengradspolynomiet y=ax2+bx+c

• Gennemgå i hovedtræk beviset for løsning af andengradsligningen.

Betydning af koefficienten a.

a > 0, dette betyder at parablens grene vender op ad

a < 0, dette betyder at parablens grene vender ned ad

Betydning af koefficienten b.

b > 0, dette betyder at parablens toppunkt ligger i til venstre for y-aksen

b < 0, dette betyder at parablens toppunkt ligger i til højre for y-aksen

b = 0, dette betyder at parablens toppunkt ligger på y-aksen

Betydning af koefficienten c.

c afgør hvor grafen skærer y-aksen. Dvs. i punktet (0, c)

Betydning af diskriminanten d.

Udregnes med formlen:d=b2-4ac

Antallet af løsninger afhænger af fortegnet på d. Løsningerne til en andengradsligning svarer til nulpunkterne for et andengradspolynomium. Dvs. at diskriminanten siger noget om hvor mange nulpunkter grafen har.

d < 0, ingen nulpunkter

d = 0, en løsning, altså 1 nulpunkt

d > 0, to løsninger, altså 2 nulpunkter

Sætning

ax2+bx+c=0

Med diskriminanten d=b2-4ac gælder:

d < 0, ingen nulpunkter

d = 0, en løsning: x=-b2a

d > 0, to løsninger:x=-b+d2a og x=-b-d2a

Bevis

ax2+bx+c=0*Gang med 4a

4a2x2+4abx+4ac=0*Læg b2-4ac til på begge sider