Integralregning: stamfunktion og arealbestemmelse

Gør rede for begreberne stamfunktion og det bestemte integral.

Forklar, hvordan stamfunktioner og integraler kan benyttes til arealbestemmelse, og kom herunder ind på areal under og mellem grafer for funktioner.

Kap. 1, s. 6-11; 14-15 Kap. 2, s. 24-25

Bevis s. 30-31 Kernestof - LRU.dk (praxis.dk)

Kernestof - LRU.dk (praxis.dk)

Kernestof - LRU.dk (praxis.dk)

MatematikTutor

En funktion F er stamfunktion til en anden funktion f, når der gælder, at F ? (x) = f (x).

Når vi taler en funktion F som en stamfunktion, så betyder det, at funktionen er en stamfunktion til en anden funktion f. dvs. hvis vi differentierer stamfunktion, så får vi oprindelig f funktion.

Ikke alle funktioner har stamfunktion. Til at kontrollere om en funktion er stamfunktion til en anden, kaldes integrationsprøven.

For eksempel, bliver vi oplyst at funktionen Fx=x2 er stamfunktion til f(x)=2x.

Det kan vi teste ved at differentiere:

F'x=2x2-1=2x her bruges der differentiations regel

Vi kan se at det stemmer.

Stamfunktioner er meget nyttige, når man skal beregne arealer under grafer – også under grafer der ikke er pæne rette linjer.

Enhver kontinuert funktion defineret på interval [a;b] har en stamfunktion på intervallet [a;b]. Funktion er kontinuert, hvis dens graf hænger sammen.

Lad funktionen f være kontinuert i intervallet [a ; b]. Det bestemte integral af f i dette interval er defineret som