Integral og stamfunktion: bestemmelse gennem punkt

Integral og stamfunktion gennem bestemt punkt (opg. 12)

Opskriv definitionen på, at F er en stamfunktion til f. F’(x)=f(x)

Stamfunktioner betegnes ofte med store bogstaver. Hvis vores oprindelige funktion hedder f, betegner vi således dens stamfunktion(er) med F.

Det, der skal til for at være en stamfunktion, er, at hvis man differentierer stamfunktionen, får man den oprindelige funktion.

Man kan med andre ord sige, at F er en stamfunktion til f hvis

F?(x)=f(x)

Hvis man får givet funktionen

f(x)=2x+1

kan man gætte sig frem til, at en stamfunktion til f er

F(x)=x2+x

Dette skyldes, at

F’(x)=(x2+x)'=2x+1=f(x)

og det var jo netop det, der skulle til for, F var en stamfunktion til f. På samme måde kan man sige, at

F(x)=2x3+4x

er stamfunktion til

f(x)=6x2+4

fordi

F?(x)=2x3+4x'=2*3x3-1+4=6x2+4=f(x)

Vis nogle eksempler på stamfunktioner til standardfunktioner

Lad os finde nogle ubestemte integraler.

Hvis: f(x)=x

så er: FX=x dx=12x2+k

f(x)

F(x)

a

ax+k

x

12x2+k

ax

a2x2+k

Forklar at der godt kan være flere stamfunktioner til en bestemt funktion

Der er uendeligt mange stamfunktioner.

Hvis man differentierer: x2

får man: 2x

Derfor er x2 stamfunktion til 2x.

Hvis man differentierer: x2+4

får man imidlertid også: 2x

det vil sige at x2+4 også er en stamfunktion til 2x