Volumen af omdrejningslegemer med integralregning

Der ønskes en redegørelse for bestemmelse af volumen af omdrejningslegemer (rotation om x-aksen) vha. integralregning.

Uofficielt: præsenter volumenfunktionen (dvs. forklar hvordan den fungerer). Opskriv og bevis sætning 1(side 34). ekstra materiale: sætning 2 (side 35) og al stoffet nævnt under eksamensspørgsmål 3 og 4.

(1) indfør volumenfunktionen V1(x)

Kontinuert og ikke-negativ

Ingen spring elle huller i grafen

V1(x): volumenet af det omdrejningslegeme der

fremkommer ved at rotere områder mellem x-aksen

og grafen for f i intervallet a,b

V1(b) giver volumenet af hele området fra a til b

V1(a)=0 svarer til at V1 roterer en linje-ingen brede

Derfor heller ingen volumen

F(x)=fxdx

Hvis F´(x)=f(x) det vil sige F(x)= F´xdx

Dette giver: V1(b) - V1(a) = V1(x)ab=abV´1(x)dx

(2) vis at V1(x) er en stamfunktion til ?.f(x)2, dvs. at V1´(x)= ?.f(x)2

Vi ved fra B-niveau at V1´(x0) = limh?0(V1 (x0+h)-V1 (x0)h

På siden 3 i teoribogen ses definitionen på differentiabilitet:

Hvis en funktion er differentiabel i x0 er f´x0=limh?0fx0+h-f(x0)h

Vi deler med h: ?*fx02*hh?V1x0+h-V1x0h??*fx0+h2*hh

Husk:

V1´(x0) = limh?0(V1 (x0+h)-V1 (x0)h

?*fx02?V1x0+h-V1x0h? ?*fx0+h2 vi tager grænseværdien for h?0

h?0 h?0 h?0

?*fx02? V1´x0 ??*fx02

dvs. V1´x0=?*fx02

vi har dermed bevist at V1(x) er en stamfunktion til ?fx02 og dermed at

V1x=?f(x)2dx

Dvs. V1(b)-V1(a)= V1(x)ab=ab?*f(x)2dx = ?*abf(x)2dx