For et positivt reelt tal a, et naturligt tal n og et rationalt tal defineres:
Denne definition af potensbegrebet udvides til vilkårlige reelle tal r ved at kræve at skal være en kontinuert funktion af r.
2. Regneregler
Der gælder følgende vigtige regneregler:
Regnereglerne er nemme at huske og bevise når eksponenterne er naturlige tal - og udvidelsen til reelle tal er netop valgt så at de stadig gælder.
3. Potensfunktioner
En funktion af formen , kaldes en potensfunktion.
Der gælder:
; f er voksende hvis r>0, f aftagende hvis r<0.
Bemærk specielt at en potensfunktion er bijektiv og at dens omvendte funktion også er en potensfunktion: .
4. Eksponentialfunktioner
En funktion af formen , kaldes eksponentialfunktionen med grundtal a, og betegnes også expa.
Der gælder og .
f er voksende hvis a>1, f er aftagende hvis 0<a<1.
Særlig vigtig blandt eksponentialfunktionerne er den naturlige, , (e = 2,71828...), der er karakteriseret ved at .
5. Logaritmefunktioner
En eksponentialfunktion er bijektiv og har således en omvendt funktion, kaldet logaritmefunktionen med grundtal a, loga . Efter definitionen af omvendt funktion har vi:
.
Potenregnereglerne ovenfor fører frem til de lige så vigtige regneregler for logaritmer:
Bemærk også at definitionerne indebærer at loga(1)=0 og loga(a)=1.
Det er gratis at oprette en konto