Cosinusrelationer og sinusrelationer i vilkårlige trekanter

b² = a² + c² - 2ac * cos (A) el. Cos (A) = a² + c² - b²

2ac

a² = b² + c² - 2bc * cos (A) el. Cos (A) = b² + c² - a²

2bc

c² = b² + c² - 2ac * cos (A) el. Cos (A) = a² + b² - c²

2ab

Bevis

B

ca

A(x)D(b-x)C

b

Her er en vilkårlig trekant ABC. Trekanten deles af højden ’’h’’, som står vinkelret på siden b. Dvs. b bliver delt i to stykker med længderne ’’x’’ og ’’b-x’’. herefter er den vilkårlige trekant opdelt i to retvinklede trekanter. ABD og BDC.

Herefter kan benyttes Pythagoras’ læresætning.

c² = x² + h² for trekant ABD.

a² = (b-x) ² + h² - trekant BDC

(b-x) ² = (b-x) * (b-x) = b² - 2bx + x²

Det eneste ukendte I denne ligning, er x’et. Men x er i dette tilfælde den hosliggende katete til vinkel A, derfor må x = c * cos (A)

a² = b² + c² - 2bx

Et par omskrivninger:

a² = b² + c² - 2bc cos (A)

2bc cos (A) + a² = b² + c²

2bc cos (A) = b² + c² - a²