Cosinusrelationer, sinusrelationer og arealformler for trekanter

Jeg vil bevise at i en vilkårlig trekant ABC gælder cosinusrelationerne:

a^2 = b^2 + c^2 –2bc*cos(A) og cos(A)=b^2+c^2-a^/2bc

b^2=a^2+c^2 –2ac *cos(B) og cos(B) =a^2+c^2-b^2/2ac

c^2= a^2+b^2 –2ab *cos(C) og cos(C)= a^2+b^2-c/2ab

Jeg deler den vilkårlige trekant ABC op i 2 retvinklet trekanter. Det gør jeg ved at tegne højden h fra vinkel B vinkelret ned på siden b. Siden b bliver opdelt i to sider nemlig x og b-x. Det medfører at jeg får 2 retvinklet trekanter ABD og BDC.

Jeg benytter Pythagoras til at opskrive sætningerne for hver af de 2 trekanter:

1.

Opskriver Pythagoras læresætning for ABD og BCD = c^2=h^2+x^2 og a^2=(b-x)^2 +h^2

2

Opskriver sætningen for BCD a^2=(b-x)^2 +h^2, udregner parentesen = (b-x)*(b-x) =b^2–2bx+x^2

3.

Efter udregning af parentesen ser ligningen sådan ud = a^2=b^2-2bx + x^2+h^2

4.

Jeg ved nu at x^2+h^2 er lig med c^2 fra trekanten ABD, erstatter derfor x^2+h^2 med c = a^2=b^2+c^2-2bx

5.

Jeg ved at x er den hosliggende katete til A, i trekanten ABD så derfor ved jeg at x er lig med c*cos(A). Erstatter derfor x med c*cos(A) = a^2=b^2 +c^2-2bc*cos(A)

Ved hjælp af omskrivninger af a^2=b^2 +c^2-2bc*cos(A) finder jeg frem til et udtryk for cos(A), for at det kan lade sig gøre skal jeg isolerer cos(A) på venstre side af lighedstegnet.