Monotoniforhold for funktion ved differentialregning

Forklar ud fra funktionsforskriften i nedenstående opgave, hvordan monotoniforholdene for en funktion kan bestemmes ved hjælp af differentialregning.

Opgave:

En funktion f er givet ved

fx=x2-5x+4+2lnx , x>0

Vi differentierer funktionen. Grunden til at 2ln(x) bliver til 2x er at differentialet til ln(x) er 1x og konstanten 2 bliver indsat i brøken, så i virkeligheden står der 2?1x. Altså får vi:

f'x= 2x-5+2x=0

Vi ønsker at få en andengradsligning, ud af ovenstående ligning. Vi ganger med x på begge sider af lighedstegnet:

f'x=2x?x-5 ?x+ 2x ?x=0?x

Herved får vi en andengradsligning:

2x2-5x+2=0

Derefter udregnes ligningen, som en normal andengradsligning, ved at finde diskriminanten:

a=2, b= -5, c=2

Ud fra formlen for diskriminantenten, udregnes ligningen:

Formel for diskriminanten:

d= b2-4ac

d= -52-4?2?2=9

Diskriminanten er altså = 9

Så benytter vi os af formlen for rødderne for en andengradsligning:

Formel for rødderne for en andengradsligning:

r1,r2= -b??d2?a

Vi indsætter tallene i formlen:

5??92?2= 5?34= 122

Nu har vi så de to nulpunkter vi skal bruge til monotonilinjen.

Her er der tale om et lokalt maksimum og lokalt minimum, eftersom grafen fortsætter i det uendelige.

Vi aflæser, ved hjælp af TI-89, på grafen, at:

?;0 er voksende

12;2 er aftagende

2;? er voksende