Løste matematikopgaver: differentialligninger og funktioner

Opgaver uden hjælpemidler

Opgave 1:

a = 12, b = -1, c = -2

Vi beregner diskriminaten:

d= b2-4ac

d=-12-4*1*-2

d=9

Vi beregner rødderne, for at tegne parablen:

x= -b±d2a

x= 1±32

x=2 v x= -1

Vi beregner nu toppunktet ved at bruge formlen:

-b2a;-d4a

12;-94

=(12;-214)

Skitse af parablen:

Opgave 2:

Vi finder stamfunktionen:

4*12x2-13x302

Funktionen beskriver og viser området af arealet fra 0 til 2.

Opgave 3:

Om en variabel N oplyses, at den er omvendt proportional med kvadratet på en variabel d.

Bestem N udtrykt ved d

Vi bruger formlen for ”omvendt proportionalitet”:

y*x=k

N*d2=1

N=1d2

Opgave 4:

Vi bruger nul-reglen:

fx=x3-12x=0

xx2-12

x=0, x v x2-12=0

Vi bruger diskriminanten for at beregne de to andre løsninger:

d=b2-4ac

d=02-4*1*-12

d=48

x=-0±482*1

x=0 v=x= -482 v=x=482

Nulpunkterne for fx=x3-12x er x=0 v=x= -482 v=x=482

Opgave 5:

Vi beregner a - værdien:

a=y2-y1x2-x1

a=0-10-3-2= -10-5=2

Vi beregner b:

b=y1-ax1

b=10-2*2=6

Forskriften: f(x) = 2x+6

Opgave 6:

Vi får oplyst at M1 har arealet 34 :

-3-2fx=34

Når man plusser arealet af de to punktmængder, så får vi resultatet:

-32fx=32+34=32,75

Opgave 7:

12x2+lnx+k

Vi bruger substitution:

t=x2+1

dt=2x dx

12dt=x*dx

?et*12dt

12et+k

12*ex2+1+k

Opgave 8:

Om en eksponentielt voksende funktion fx=b?ax oplyses det, at fordoblingskonstanten er 5, og at f(3) = 4,5.