Matematikopgaver: funktioner, trigonometri og integralregning

I opgaven er opgivet en andengradspolynomium, derfor kan nemt diskriminanten findes:

.

Toppunktsformlen:

Opgave 2

Da funktionstypen hedder ved vi at det er en potensfunktion. I opgaven har vi fået angivet to funktioner, deraf kender vi 2 koordinatsæt, hvilket vi kan bruge til at finde a.

er altså

er altså

Jeg dividere den sidste med den første:

Da begge sider ved lighedstegnet skal give 8 må , da så hvis . Må . For nu at løse b, indsætter jeg de kendte værdier ind i formlen og isolér b:

Opgave 3

Opgave 4

For at beregne monotoniforholdene for funktionen skal først findes:

Jeg finder nu . Det ses at vi har med en andengradspolynomium, at gøre. Vi kan nu finde hvor parablen skær på x-aksen ved at finde diskriminanten:

Da har ligningen to løsninger:

Vi har nu fundet de to mulige ekstremumssteder. Her har grafen altså en vandret tangent.

Når og har vi altså et nulpunkt. Tallene -3 og 1 afsættes på en monotonilinje. Herefter bestemmes fortegnet for f’ i de to intervaller definitionsmængden opdeles i, og da f’ er kontinuert er det nok at undersøge fortegnet for et enkelt tal fra hvert af intervallerne:

Jeg udregner:

, altså når