Funktionsanalyse: nulpunkter og fortegnsvariation

Aflevering om funktionsanalyse.

En funktionsanalyse indeholder elementerne:

Definitionsmængde Dm(f)

Nulpunkter for f

Fortegnsanalyse for f

Monotoniforhold for f

Lokale ekstrema for f

Værdimængde Vm(f)

I de følgende opgaver skal I lave delanalyser af forskellige funktioner. Det er altid en god ide at tegne grafen for den tilsvarende funktion, så du kan se, om dine svar er korrekte.

O1

Bestem nulpunkter og fortegnsvariationsvariation for følgende funktioner:

Vigtigt at du demonstrerer metoden og ikke blot bruger et CAS-værktøj.

fx=x3-4x2+4x

vi faktorisere ligningenx(x2-4x+4)

Vi finder nulpunkterne.

Vi finder diskriminanten v.h.a formlen

d=b2-4*a*c d=-42-4*1*4=0

når d=0, så har ligningen 1 løsning og det er 0

vi finder de sidste nulpunkter ve hælp af formlen:b2?d2*a

-(-4)2?02*1

x?=0, x?=2

Fortegnsvariation

VI vælger nogle tal under, mellem og over de forskellige x-værdier og sætter dem ind på x's plads i funktionen, for at finde ud af om grafen er positiv eller negativ.

f-10=-103-4-102+4-10 = f(?100)=?1010100

f1=13-4*12+4*1 = f(1)=1

f10=103-4*102+4*10 = f(10)=640

X 0 2

--------------------------->x

f(x) - 0 + 0 +

gx=x4-2x3

Vi faktorisere ligningen2x(x1-2x)

Vi finder nulpunkterne.

Vi finder diskriminanten v.h.a formlen

d=b2-4*a*c d=-42-4*1*4=0

når d=0, så har ligningen 1 løsning og det er 0

I de tilfælde, hvor der eksisterer løsninger, finder man dem ved formlen b2?d2*a