Vektorregning: ortogonalitet, linjer og vinkler

I et koordinatsystem i planen er givet to vektorer a=13 og b=2-2

Undersøg om a og b er ortogonale.

For at a?b skal a?b=0.

Formel:a?b=a1·b1+a2·b2

Udregning: a?b=1·2+3·-2a?b=2+-6=-4

Eftersom a?b ikke er lig med 0, er de to vektorer ikke ortogonale.

Linjen l er parallel med a og går gennem punktet P(-8,10)

bestem en ligning for linjen l.

For at bestemme en ligning for den l, benytter jeg to-punktsformlen med punkterne B(2,-2) og P(-8,10) (punkt B lavet ud fra vektor b), hvor B(2,-2) =B(x1,y1) ogP-8,10=P(x2,y2)

Formel:a=y2-y1x2-x1 og y=a·x-x1+y1

Udregning: a=10--2-8-2 =1210=1,2

b=-2-1,2·2=-4,4

y=1,2x-4,4

Opgave 4

To vektorer i planen er givet ved a=25 og b=t3

Bestem tallet t så, a og b er ortogonale.

For at a?b skal a?b=0.

Formel:a?b=a1·b1+a2·b2

For at finde tallet t, opstilles følgende ligning:

Udregning: 2·t+5·3=02t+15=02t=-15t=-152=-7,5

Herefter indsættes t-værdien i udregningen for prikproduktet for at se om a?b=0.

Udregning:

2·-7,5+5·3=-15+15=0

Når t=-7,5 er a?b=0, hvilket vil sige at a?b.

Opgave 5

I et koordinatsystem i planen er to vektorer a og b givet ved a=-37 og b=1-4

Bestem vinklen mellem de to vektorer.

Formel:cosv= a?b a·b

Udregning:cosv=-3·1+7·-4-32+72·12+-42 =-3+-2858·17=-317,62·4,12=-0,9874

For at finde vinklen bruges inverscosinus.

Udregning:cos^-1

Opgave 6

I et koordinatsystem i planen er to vektorer a og b givet ved a=-13 og b=25