En differentialligning, er en ligning, hvor der i ligningen indgår funktioner og hvor løsningen er en funktion.
“Alminelige” ligninger indgår variabler.
x+2=5?x=3
I differentialligninger indgår funktioner og differentialkvotienter.
Note: y=fxy'=dfxdx=f'x=dydx
dfxdx=2x
fx=x2
y'=ex
y=ex
dydx=x+y
y=-x-1+ex
Vi gør prøve:
-1+exdydx=x+-x-1+exy?-1+ex=-1+ex
Ved ordenen af en DL forstås den højeste afledede funktion i ligningen.
Øvelse 2.1.2.
Undersøg for hver af funktionerne f,g og h om den er løsningen til differentialligningen dydx=y-x
fx=ex+x+1
dydx=ex+1=ex+x+1-x
ex+1=ex+1
gx=x+1
dydx=1=x+1-x
1=1
hx=1
dydx=0=0-x
Øvelse
Gør rede for, at funktionenn fx=e2x+3 er en løsning til differentialliningen
dydx=2y-6
Tangentligning og differentialligning
Løsningen til en differentialligning er en funktion. For en sådan given løsning kan man udnytte differentialligningen til at bestemme tangentligningen igennem et punkt (x0, y0).
Eksempel
Vi betragter dydx=x+y, hvoraf vi vil bestemme tangentligningen igennem punktet P1,2.
Tangentligningen er givet ved y=f'x·x-x0+f(x0).
Vi ved at x0=1, fx0=y0=f1=2 og f'x0=f'1=3f'x=dydx=x+y
Dvs.
y=3·x-1+2
=3x-3+2
=3x-1
Øvelse
En funktion f er løsningen til differentialligningen dydx=x3+1y og grafen for f går gennempunktet P(2,4). Bestem heraf en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P.
f'x0=f'2=23+14,x0=2, fx0=y0=f2=x^+x
Ikke færdig
Separable differentialligninger
En separable differentialligning er en differentialligning hvor x og f(x) kan separeres på hver sin side af lighedstegnet.
Vi ser på 2 simple tilfælde:
Det er gratis at oprette en konto