Differentialligninger: løsning og anvendelse

En differentialligning, er en ligning, hvor der i ligningen indgår funktioner og hvor løsningen er en funktion.

“Alminelige” ligninger indgår variabler.

x+2=5?x=3

I differentialligninger indgår funktioner og differentialkvotienter.

Note: y=fxy'=dfxdx=f'x=dydx

dfxdx=2x

fx=x2

y'=ex

y=ex

dydx=x+y

y=-x-1+ex

Vi gør prøve:

-1+exdydx=x+-x-1+exy?-1+ex=-1+ex

Ved ordenen af en DL forstås den højeste afledede funktion i ligningen.

Øvelse 2.1.2.

Undersøg for hver af funktionerne f,g og h om den er løsningen til differentialligningen dydx=y-x

fx=ex+x+1

dydx=ex+1=ex+x+1-x

ex+1=ex+1

gx=x+1

dydx=1=x+1-x

1=1

hx=1

dydx=0=0-x

Øvelse

Gør rede for, at funktionenn fx=e2x+3 er en løsning til differentialliningen

dydx=2y-6

Tangentligning og differentialligning

Løsningen til en differentialligning er en funktion. For en sådan given løsning kan man udnytte differentialligningen til at bestemme tangentligningen igennem et punkt (x0, y0).

Eksempel

Vi betragter dydx=x+y, hvoraf vi vil bestemme tangentligningen igennem punktet P1,2.

Tangentligningen er givet ved y=f'x·x-x0+f(x0).

Vi ved at x0=1, fx0=y0=f1=2 og f'x0=f'1=3f'x=dydx=x+y