Analyse af RLC kredsløb med differentialligninger

En serie R-L-C kreds er tilsluttet en spændingskilde. Komponenterne har følgende værdier:

R = 200 , L =0,001 H, C = 20 10-9 F

Strømmen i(t) i kredsen er givet ved:

t > 0

hvilket giver:

Yderligere vides at begyndelsesbetingelserne er: i (0) = 0 og i(0) =

Opgave A.

Kredsen påtrykkes V(t) = 10 volt jævnspænding start til tiden t=0.

Bestem strømmen i(t) i kredsen.

V't=L*i''t+R*i't+1c*it

0=0,001*i''t+200*i't+120*10-9*it

0=0,001*?2+200*?+120*10-9

Vi løser en andengradsligning og finder først diskriminanten, hvilket vil sige noget om antallet af løsninger.

d=b2-4*a*c

d=2002-4*0,001*120*10-9=-160000

Vi løser nu andengradsligningen og finder ?

?=-b±jd2*a

?=-200±j-1600002*0,001

?=-100000±-200000j

?±?j=-100000±-200000j

Først finder vi en løsning for den homogene løsning

ih=e?t(A*cos?*t+B*sin(?*t)

ih=e-100000t(A*cos-200000*t+B*sin-200000*t)

Vi vil nu gætte på en løsning for den partikulære løsning

Gæt:

ip=K

i'p=0

i''p=0

0=0,001*0+200*0+5*107*K , K=0

Vi finder ud af at den partikulære løsning giver 0, derved kan vi sige at den homogene løsning er løsningen.

i=ih+ip

i=ih+0=ih

Vi skal nu have fundet konstanterne A og B

i(t)=e-100000*0(A*cos200000*t+B*sin200000*t)

i0=0

i0=1*(A*1+B*0)

A=0

i(t)=e-100000t(B*sin200000*t)

i't=e-100000t*200000*A*cos200000*t-e-100000t*100000*B*sin200000*t

i'0=v0L=100,001

100,001=1*200000*A*1

B=0,05

it=e-100000t(0,05*sin?(-200000t)

Figur 1 Her ses grafen for jævnstrømmen fra tid 0 og frem. Op af y-aksen er strømmen i A.

Dvs. Alle homogene løsninger (indeholder 2 vilkårlige konstanter)

plus en (gættet) partikulær løsning.