Analyse af RL og RC kredsløb med differentialligninger

rightVi vil i denne opgave kigge på ovenstående kredsløb, hvor en resistor og spole er forbundet i serie. Når kontakten lukkes påføres en konstant spænding V.

Spændingsfaldet over resistoren er givet ved:

VRt=R?i(t)

Spændingsfaldet over spolen er givet ved:

VLt=L?ddti(t)

Ifølge Kirchhoff’s spændingslov skal summen af spændingsfaldene i et lukket kredsløb er lig med nul. Ud fra dette kan vi opstille følgende differentialligning:

R?it+ L?ddtit=V

Når kontakten lukkes er strømmen i kredsløbet ikke konstant, men vil stige fra nul til en konstant værdi.

Redegør for at der er tale om en differentialligning på formen:

For at finde ud af hvad for en differentialligning isolere vi i'(t)

R?it+ L?ddtit=V=>

R?it+ L?i't=V=>

L·i't=V-R·it=>

i't=V-R·itL=>

i't=VL-RL·it

Det ligner noget som vi kender nemlig forskudt eksponentiel vækst som er en differentialligning type.

y'=b-a?y

b=VL a=RL

Brug differentialligningen til at argumentere for, at den maksimale strømstyrke der vil løbe i kredsløbet, er givet ved i=V/R.

i't=VL-RL·i(t)

For at finde maksimum strøm gennem kredsløbet må det gælde at i't=0. Da strømmen i det sek. der trykkes på kontakten er strømmen til tiden 0.

0=VL-RL·i(t)

=>RL·it=VL

=>it=VL·LR

=>it=V·LL·R

=>it=VR

Dermed er det vist det at oms lov passer.

i=VR

Brug sætning 2.6 i noterne til at vise at den fuldstændige løsning differentialligningen er givet ved: