2. grads polynomiet: Toppunkt og parablens symmetri

En parabel med forskriften ????(????) = ???????? 2 + ???????? + ???? er symmetrisk omkring den lodrette linje ???? =

Parablens toppunkt ???? har førstekoordinaten ???????? =

?????

2????

og anden koordinat yT =

?????

.

4????

?????

.

2????

Bevis

Vi vil gerne både finde ???????? og bevise at parablen er

symmetrisk omkring den lodrette linje ???? =

?????

.

2????

For

at gøre dette betragter vi to x-værdier, der ligger

lige langt fra ???????? , nemlig stykket ? til højre og

venstre for ???????? (se figur). Hvis de tilsvarende

punkter på parablen har samme funktionsværdier

(dvs. y-koordinater) har vi bevist, at parablen er

symmetrisk.

Funktionsværdierne for ???????? ? ? og ???????? + ? sættes

lig hinanden:

????(???????? ? ?) = ????(???????? + ?)

Ved at regne videre på udtrykket undersøger vi, hvorvidt der findes en værdi af ???????? der opfylder ligningen.

????(???????? ? ?) = ????(???????? + ?)

???? · (???????? ? ?)2 + ???? · (???????? ? ?) + ???? = ???? · (???????? + ?)2 + ???? · (???????? + ?) + ????

Kvadratsætninger anvendes (dvs. parenteser ganges sammen) så der fås:

???? · ((???????? )2 + ?2 ? 2????????? ) + ???? · (???????? ? ?) + ???? = ???? · ((???????? )2 + ?2 + 2????????? ) + ???? · (???????? + ?) + ????