Matematiske opgaver: geometri, tangenter og differentialregning

Vi skal finde|AB|, det kan vi gøre efter nogle andre beregninger:

Da de ovenstående retvinklede trekanter er ensvinklede, kan vi gøre brug af skalafaktoren, k:

k=b'b

k=9030

k=3

Dvs. skalafaktoren er 3, svs. at ?CBL er 3 gange større end ?ABP.

Nu kan vi finde |AB|

3?x=200-x

3?x+x=200

4x=200

4x4=2004

x=50

Dvs. |AB| er 50 cm

Opgave 2

Linien y=-2x-5 er tangent til parablen y=x2-6x+p. Bestem tallet p.

Tangentens ligning: y=-2x-5

Parablens ligning: y=x2-6x+p

f'x= a

f'x= -2

Så differentier vi parablens linie:

fx=x2-6x+p

f'x=2?x-6

Også sætter vi a ind i stedet for f’(x)

f'x= a

-2=2?x-6

4=2?x

x=42=2

Dvs. vores x-værdi er 2

Nu finder vi y-værdien vha. tangents ligning:

y=-2x-5

Så sætter vi x-værdien ind i ligningen:

y=-2?2-5

y=-9

Nu har vi fundet y-værdien, og har hermed punktet (2,-9)

Nu sætter vi det i parablens ligning og isolere p:

y=x2-6x+p

-9=22-6?2+p

-9=4-12+p

-9 -4+12=p

-1=p

Dvs. tallet p er -1

Opgave 3

En funktion f er bestemt ved fx=2x3-15x2+24x+5

f'x=2x3-15x2+24x+5

f'(x)=3?2x2-15?2x+24

f'(5)=6x2-30x+24

f'(5)=6?(5)2-30(5)+24

f'(5)=24

Dvs. a, hældningkoefficienten er lig med 24

Nu finder vi skæringen med y-aksen:

y=a?x+b

f(x)=a?x+b

f(5)=24?5+b

0=24?5+b

-24?5=b

-120=b

Dvs. skæringspunket, b er -120

Nu kan vi lave linien for m:

y=24?x-120

Dvs. linien for m er det ovenstående ligning