12: Differentialregning. Giv en redegørelse for en differentialkvotient. Samt beviset for: Fx=?f'x=ex og Fx=1x?f'x=-1x2
En funktion er populært sagt differentiabel, hvis dens graf er glat og sammenhængende. Dvs. uden huller, spring, knæk eller spidser. Det ligger heri at en differentiabel funktion altid vil være kontinuert, hvilket betyder at den er kontinuert i et interval fra a til b, hvis man kan tegne grafen fra a til b uden at løfte blyanten på papiret. Men hvis funktionen skal være differentiabel, har dens graf en tangent i ethvert punkt. En tangent er en linje, som rører en kurve i et enkelt punkt, og følger den tæt i et område omkring punktet.
Differentialkvotienten i et bestemt punkt, er tangentens hældning.
En funktion f siges at være differentiabel i et tal x0, hvis differentialkvotienten a= ?y?x=fx0+?x-f(x0)?x
Har en grænseværdi for ?x gående mod nul. Denne grænseværdi kaldes funktionens differentialkvotient i x0 og betegnes med f’(x0) eller dy/dx. Differentialkvotienten bestemmes ved en tretrinsregel:
Bestem differenskvotienten a= ?y?x=fx0+?x-f(x0)?x
Reducér udtrykket
bestem, hvis det er muligt, grænseværdien for ?x?0.
Hvis vi vil bestemme differentialkvotienten i punkt x0 som vi kalder 1, så tegner vi tangenten i punktet og finder hældningskvotienten, som er differentialkvotienten i punktet 1, ved at finde 2 punkter på linjen og sige:
Det er gratis at oprette en konto