Andengradspolynomier og deres egenskaber

Andengradspolynomier

Indholdsfortegnelse

Indholdsfortegnelse

Grundbegreber3

Analyse af andengradsleddet3

Analyse af førstegradsleddet4

Analyse af konstantleddet4

Analyse af diskriminanten4

Bevis for diskriminantmetoden5

Toppunkt og symmetriakse6

Bevis for parablens symmetriaksen6

Bevis for toppunktet8

Andengradsligninger9

Den simple ligning9

Bevis for den simple ligning9

Kvadratkomplettering10

2. Metode10

3. Metode11

Diskriminantmetoden11

Nulpunkter11

Faktoringsering12

Bevis for faktorisering af andengradspolynomiet12

Grundbegreber

Formlen for andengradspolynomium er:

fx=ax2+bx+c a?0

ax2 er andengradsleddet, og a er koefficienten i andengradsleddet.

bx er er førstegradsleddet, og b er koefficienten i førstegradsleddet.

c er konstantleddet i formlen for en andengradspolynomium.

Grafen for andengradspolynomiet er en parabel, hvor den er symmetrisk omkring en lodret akse. Symmetriaksen deler parablen i to dele, hvorefter der bliver dannet et spejlbillede af parablens grene.

Analyse af andengradsleddet

a må ikke være lig med 0, da andengradsleddet forsvinder, og man ikke har en andengradspolynomium længere, hvorimod vi får en lineær funktion, hvis a = 0.

Eksempel

fx=0x2+bx+c fx=0·x2+bx+c

fx=02+bx+c fx=0+bx+c

fx=bx+c Lineær funktion

Grenenes retning er bestemt af a. Hvis a er positiv, vender grenene opad. Hvis a er negativ, vender grenene nedad: Se billedet

a > 0 Parablens grene er konveks.

a < 0 Parablens grene er konkav.

Parablens bredde afhænger også af a. Jo, tættere a kommer på nul, jo mere bredere bliver parablen, og jo, længere a kommer væk fra nul, jo spidsere bliver parablen, og y-værdierne stiger hurtigere.